Senin, 09 Maret 2015

persamaan diferensial eksak dan non eksak


Persamaan Diferensial Eksak

Suatu Persamaan Diferensial ordo satu yang berbentuk

(7)                               M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

disebut Persamaan Diferensial Eksak jika ruas kirinya adalah diferensial total atau diferensial eksak

(8)                               

dari suatu fungsi u(x,y). Maka Persamaan Diferensial (7) dapat ditulis dengan

du = 0.

Dengan pengintegralan akan diperoleh selesaian umum dari (1) yang berbentuk

(9)                                           u(x,y) = c.

Dengan membandingkan (7) dan (8) kita mengetahui bahwa (7) adalah Persamaan Diferensial Eksak jika ada suatu fungsi u(x,y) sedemikian hingga

(10)                                        


Misal M dan N terdifinisikan dan mempunyai turunan par-sial pertama yang kontinen dalam suatu daerah di bidang xy yang batas-batasnya berupa kurva tutup yang tidak mempunyai iri-san mandiri (self-intersections). Maka dari (10) diperoleh



Dengan asumsi kontinuitas, maka dua turunan kedua di atas adalah sama. Jadi

(11)                                         

Syarat ini bukan hanya perlu tetapi juga cukup untuk Mdx+Ndy menjadi diferensial
total.

Jika (7) eksak, maka fungsi u(x,y) dapat ditemukan dengan perkiraan atau dengan cara sistematis seperti berikut. Dari (10a) dengan pengintegralan terhadap x
Diperoleh

(12)                                         

dalam pengintegralan ini, y dipandang sebagai suatu konstan, dan k(y) berperan
sebagai konstan integrasi. Untuk menentukan k(y), kita turunkan ¶u/¶y dari (12),
gunakan (10b) untuk mendapatkan dk/dy, dan integralkan.

Rumus (12) diperoleh dari (10a). Secara sama kita bisa menggunakan rumus
(10b) untuk mendapatkan rumus (12*) yang mirip dengan (12) yaitu

(12*)                                        

Untuk menentukan l(x) kita turunkan ¶u/¶x dari (12*), gunakan (10a) untuk
mendapatkan dl/dx, dan intergralkan.


Contoh 6 Persamaan Diferensial Eksak
Selesaikan

xy’ + y + 4 = 0.

Penyelesaian.
Persamaan di atas ditulis dalam bentuk (7), yaitu

(y+4)dx + xdy = 0.

Kita lihat bahwa

M = y+4, dan
N = x.

Jadi (11) dipenuhi, sehingga persamaannya adalah eksak.
Dari (12*) diperoleh


Untuk menentukan l(x), rumus di atas diturunkan terhadap x dan gunakan rumus
(10a) untuk mendapatkan


Jadi
dl/dx = 4, atau
l = 4x+c*.

Jadi selesaian umum Persamaan Diferensial berbentuk

u = xy+l(x)
              = xy+4x+c*
   = konstan.

Pembagian dengan x menghasilkan

y = c/x+4.

Catatan: Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan di atas bisa ditulis menjadi

ydx + xdy = -4dx.

Ruas kiri adalah diferensial total dari xy, yaitu d(xy), sehingga jika diintegralkan akan
diperoleh xy = -4x+c, yang sama dengan penyelesaian dengan menggunakan metode sistematis.


Contoh 7

Selesaikan Persamaan Diferensial Eksak:

2xsin3ydx + (3x2cos3y+2y)dy = 0.


Penyelesaian.

Dengan (11) terbukti bahwa PDnya eksak.

Dari (12) diperoleh



Jika diturunkan terhadap y diperoleh


Jadi


Selesaian umumnya adalah u = konstan atau



Perhatikan!
Metode kita memberikan selesaian dalam bentuk implisit

u(x,y) = c = konstan,

bukan dalam bentuk eksplisit y = f(x).

Untuk mengeceknya, kita turunkan u(x,y) = c secara implisit. Dan dilihat apakah
akan menghasilkan

dy/dx = -M/N atau

Mdx + Ndy = 0,

seperti persamaan semula atau tidak.


Contoh 8. Kasus tidak eksak
Perhatikan Persamaan Diferensial

ydx-xdy=0.

Terlihat bahwa

M=y dan N=-x
Sehingga



Tetapi



Jadi Persamaan Diferensialnya tidak eksak. Dalam kasus demikian metode kita tidak berlaku: dari (12),
Sehingga Ini harus sama dengan

N=-x.

Hal ini tidak mungkin, karena k(y) hanya fungsi dari y saja. Jika digunakan (12*)
juga akan menghasilkan hal yang sama. Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensialtak eksak yang
demikian ini diperlukan metode yang lain.

Jika suatu Persamaan Diferensial itu eksak, maka kita bisa mengubah menjadi tak eksak dengan
membagi dengan suatu fungsi tertentu. Sebagai contoh,

xdx+ydy=0

adalah Persamaan Diferensial Eksak, tetapi dengan membagi dengan y akan diperoleh Persamaan Diferensial tak eksak

x/ydx+dy=0.

Demikian juga suatu Persamaan Diferensial tak eksak, mungkin bisa diubah menjadi eksak dengan
dibagi/dikalikan dengan suatu fungsi tertentu (yang cocok). Metode ini akan dibahas
dalam pasal berikutnya.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar